P R I S M A S

Definição e Elementos

Prisma é um poliedro convexo tal que duas faces são polígonos congruentes situados em planos paralelos e as demais faces são paralelogramos.





Nomenclatura e Classificação

Os prismas recebem nomes de acordo com os polígonos das bases.

Assim,

• um prisma é triangular quando suas bases são triângulos;

• um prisma é quadrangular quando suas bases são quadriláteros;

• um prisma é pentagonal quando suas bases são pentagonais;

• um prisma é hexagonal quando suas bases são hexagonais.


Quando as arestas laterais de um prisma forem perpendiculares aos planos das bases, o prisma é chamado de reto; caso contrário, de oblíquo.

Os prismas retos cujas bases são polígonos regulares são chamados de prismas regulares.

Exemplos

Prismas regulares


Cubo

Definição e Elementos
Cubo é um prisma em que todas as faces são quadradas. O cubo é um prisma quadrangular regular cuja altura é igual à medida da aresta da base.
O cubo da figura tem arestas de medida l então,
• as diagonais de suas faces medem l
, pois são diagonais de quadrados de lados com medidas iguais a l.


• as diagonais do cubo medem l Raiz cúbica , pois:




Assim:
Área Total
A área de um quadrado de lado l é l 2, então a área A da superfície de um cubo de aresta l é:


Paralelepípedos
Definição
Chamamos de paralelepípedo o prisma cujas bases são paralelogramos; dessa forma, todas as faces de um paralelepípedo são paralelogramos.

Exemplos



Paralelepípedo Reto Retângulo


Diagonais de um
paralelepípedo retângulo

No paralelepípedo da figura com dimensões a, b e c, sejam d1 e d, as diagonais da face ABCD e do paralelepípedo, respectivamente.






No triângulo ABC, temos:

AC2 = AB2 + BC2
ou então,



No triângulo ACG, temos:
AG2 = AC2 + CG2

ou então,
Como
, temos:
d2 = a2 + c2 + b2 ou



Área total (AT) de um
paralelepípedo retângulo

Sendo a, b e c as dimensões de um paralelepípedo retângulo, as áreas de cada par de faces opostas são: ab, ac e bc.
Assim,
Ou







Volume (V) de um paralelepípedo retângulo

Sendo a, b e c as dimensões do paralelepípedo retângulo, temos:

Área e Volume de Prismas
Regulares
Sabemos que um prisma é chamado de regular quando é reto e tem base regular.

Vamos calcular a área e o volume dos principais prismas regulares:

Prisma Triangular Regular
Consideremos um prisma triangular regular com aresta da base a e altura h.

Área da base (B)
Área lateral (AL)
AL = 3 • A face lateral
AL = 3 • (ah)= 3 ah
Área total (AT)
AT = AL + 2B








Volume (V)

V = S . h


V = B • h

Prisma Hexagonal Regular
Consideremos um prisma hexagonal regular com aresta da base a e altura h.

Área da Base (B)




Área da base (B)



Área lateral (AL)


AL = 6 • Aface lateral

AL = 6 (ah) = 6 ah

Área total (AT)

AT = AL + 2B




Volume (V)

V = B • h



Exercícios resolvidos:
(VUNESP – 07) Calcular o volume de um paralelepípedo retângulo, sabendo que suas dimensões são proporcionais a 9, 12 e 20, e que a diagonal mede 100 m.



Resolução

d2 = a2 + b2 + c2

1002 = (20k)2 + (12k)2 + (9k)2

1002 = 625k2

Assim, 25k = 100 k = 4

Então, a = 20 • 4 = 80 m

b = 12 • 4 = 48 m

c = 9 • 4 = 36 m

V = a • b • c = 80 • 48 • 36



(Fuvest-SP) Dois blocos de alumínio, em forma de cubo, com arestas medindo 10 cm e 6 cm, são levados juntos à fusão e em seguida o alumínio líquido é moldado como um paralelepípedo reto de arestas 8 cm, 8 cm e x cm. O valor de x é:
a) 16 m d) 19 m
b) 17 m e) 20 m
c) 18 m

Resposta: D

Pelo enunciado, o volume do paralelepípedo é igual à soma dos volumes dos cubos.
Assim,

8 • 8 • x = 63 + 103

64 x = 216 + 1 000

64 x = 1 216 x = 19
(Mackenzie-SP) Um prisma regular triangular tem todas as arestas congruentes e 48 m2 de área lateral. Seu volume vale

a) 16 m3
b) 32 m3
c) 64 m3
d)


Resolução



(Mackenzie-SP 2000) Se a soma dos ângulos internos de todas as faces de um prisma é 6 480°, então o número de lados da base do prisma é

a) 8 d) 12
b) 9 e) 15
c) 10



Resolução

Sendo n o número de lados da base do prisma, então este possui n faces laterais quadrangulares e duas faces que são polígonos de n lados. Portanto, a soma dos ângulos internos de todas as sua faces é
n • 360° + 2 • (n – 2) • 180°

Conseqüentemente,
n • 360° + 2 • (n – 2) • 180° = 6 480° n = 10

Resposta: C