sexta-feira, 22 de outubro de 2010

NÚMEROS IMAGINÁRIOS


















NÚMEROS COMPLEXOS
1. Definições
Vimos na resolução de uma equação do 2º grau que se o discriminante é negativo, ela não admite raízes reais. Por exemplo, a equação
x2 + 9 = 0
não admite raízes reais. Se usarmos os métodos que conhecemos para resolvê-la, obtemos
x2 = -9
x = ±
mas é inaceitável tal resultado para x; os números negativos não têm raiz quadrada.
Para superar tal impossibilidade e poder, então, resolver todas equações do 2º grau, os matemáticos ampliaram o sistema de números, inventando os números complexos.
Primeiro, eles definiram um novo número
i =
Isso conduz a i2 = -1. Um número complexo é então um número da forma a + bi onde a e b são números reais.
Para a equação acima fazemos
x = ±
x = ±
x = ± .
x = ± 3 i
As raízes da equação x2 + 9 = 0 são 3i e - 3i.
Definição
Um número complexo é uma expressão da forma
a + bi
onde a e b são números reais e i2 = -1.
No número complexo a + bi, a é a parte real e b é a parte imaginária.
Exemplos
2 + 5i parte real 2 parte imaginária 5
i parte real parte imaginária
12i parte real 0 parte imaginária 12
-9 parte real -9 parte imaginária 0
Um número como 12i, com parte real 0, chama-se número imaginário puro. Um número real como -9, pode ser considerado como um número complexo com parte imaginária 0.

Igualdade de números complexos
Os números complexos a + bi e c + di são iguais se suas partes reais são iguais e suas partes imaginárias são iguais, isto é:
a + bi = c + di se
Exemplos
2 + 5i =
Se x e y são números reais e x + yi = 7 - 4i, então x = 7 e y = - 4.

2. Aritmética dos números complexos
Adição e Subtração
Adição
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Para adicionarmos dois números
complexos, adicionamos as partes
reais e as partes imaginárias
Subtração
(a + bi) - (c + di) = (a – c) + (b – d)i Para subtrairmos dois números
complexos, subtraímos as partes
reais e as partes imaginárias
Exemplos
(3 + 4i) + (- 7 + 8i) = (3 - 7) + (4 + 8) i
= - 4 + 12i
Na prática, fazemos
(3 + 4i) + (-7 + 8i) =
(- 5 + 6i) - (4 - 2i) = (- 5 - 4) + [6 - (- 2)] i
= - 9 + 8i
Na prática fazemos
(-5 + 6i)
Multiplicação
(a + bi) . (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i Multiplicamos números
complexos como multiplicamos
binômios, usando i2 = - 1
Exemplos
= 6 – 8i + 9i – 12i2 Distributiva
= 6 + i – 12 . (-1) -8i + 9i = i e i2 = - 1
= 6 + i + 12
= 18 + i
= – 8 – 4i + 4i + 2i2 Distributiva
= – 8 + 2 . (-1) -4i + 4i = 0 e i2 = - 1
= – 8 – 2
= – 10
= – 3i . (4) – 3i . (-2i)
= - 12i + 6i2
= - 12i + 6 . (-1)
= - 6 - 12i


3. O conjugado e a divisão
Divisão de números complexos é semelhante à racionalização do denominador de uma fração com radicais. Assim, se temos o quociente nosso objetivo é escrevê-lo na forma a + bi. Para isso, introduziremos inicialmente o conceito de conjugado de um número complexo.
Complexos conjugados
O conjugado de um número complexo a + bi é a - bi, e o conjugado de a - bi é a + bi.
Os números complexos a + bi e a - bi são chamados complexos conjugados.
Para um número complexo z, seu conjugado é representado com ; então, se z = a + bi escrevemos = a - bi.
Exemplos
O conjugado de z = 2 + 3i é = 2 - 3i
O conjugado de z = 2 - i é = 2 + 3i
O conjugado de z = 5i é = - 5i
O conjugado de z = 10 é = 10
Quando multiplicamos um número complexo z = a + bi pelo seu conjugado = a - bi, o resultado que se obtém é um número real não negativo:
z . = (a + bi) . (a – bi)
= a2 – abi + abi – b2i2
= a2 – b2 . (-1) A soma dos quadrados
de dois números reais
nunca é negativa
= a2 + b2
Usamos essa propriedade para expressar o quociente de dois números complexos na forma a + bi.
Dividindo dois números complexos
Para escrevermos o quociente na forma A + Bi, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.
Exemplo
Vamos escrever o quociente na forma a + bi.
Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, para obter um número real no denominador.

=
=
=
= i
= 1 – i

4. Potências de i
Temos:
i0 = 1 i4 = i2 . i2 = (-1) . (-1) = 1
i1 = i i5 = i4 . i = 1 . i = i
i2 = -1 i6 = i4 . i2 = 1 . (-1) = -1
i3 = i2 . i = -1 . i = -i i7 = i4 . i3 = 1 (-i) = -i
Observe que as quatro potências de i na coluna da esquerda, repetem-se nos quatro casos seguintes na coluna da direita. Este ciclo
1, i, -1, -i
repete-se indefinidamente.
Então, para simplificar ix para x > 4, buscamos o maior múltiplo de 4 contido em x; por exemplo
i26 = i24 . i2 = (i4)6 . i2
= 16 . (-1)
= -1
i43 = i40 . i3 = (i4)10 . i3
= i10 . (-i)
= -i
5. O caso da raiz quadrada
Sabemos que um número real positivo r tem duas raízes quadradas
e - ,
Os números reais negativos também tem duas raízes quadradas. Por exemplo, 2i e - 2i são as raízes quadradas de - 4 porque
(2i)2 = 22 . i2 = 4 . (-1) = - 4
(- 2i)2 = (- 2)2 . i2 = (- 2)2 . i2 = 4 . (- 1) = - 4
De um modo mais geral, se r > 0 é um número real, o número real negativo - r, tem duas raízes quadradas, porque
(i )2 = i2 . ( )2 = -1 . r = -r
(-i 2) = (-1) 2 . i2 . ( )2 = 1 . (-1) . r = -r
Chamamos i de raiz quadrada principal de - r, e usamos o desenho para representá-la; a outra raiz quadrada - i é representada com - . Note que as duas raízes quadradas são números complexos imaginários puros, e que são conjugados.
Raízes quadradas de números negativos
Se - r < 0, então as raízes quadradas de - r são i e - i A raiz quadrada principal de - r é i : = i Exemplos = i =i = i = 5i = i Observação Devemos ter especial cuidado quando efetuamos operações envolvendo raízes quadradas de números negativos. Quando a e b são positivos vale a propriedade . = . Mas, quando ambos são negativos a propriedade não é verdadeira. Por exemplo, a definição dada permite-nos escrever . = i . i = i2 . . = Entretanto, se usarmos a propriedade temos . = Quando multiplicamos radicais de números negativos, devemos em primeiro lugar, escrevê-los na forma i , com r > 0.

6. Representação dos números complexos
Um número complexo é constituído por duas componentes: a parte real e a parte imaginária. Isso sugere a utilização de dois eixos para representá-lo: um para a parte real e o outro para a parte imaginária. Esses dois eixos chamam-se eixo real e eixo imaginário, respectivamente. O plano determinado por esses dois eixos chama-se plano complexo.
Para desenharmos o gráfico do número complexo a + bi, marcamos o ponto (a; b) no plano.

Exemplo

7. Módulo de número complexo
O módulo (ou valor absoluto) do número complexo a + bi é distância de a + bi à origem do plano complexo. Usando o Teorema de Pitágoras, concluímos que a distância de (a; b) a (0; 0) é .
Definição
O módulo (ou valor absoluto) do complexo z = a + bi é
| z | =
Exemplos
O módulo do número complexo - 3 + 4i é
|-3 + 4i| = = = 5
O módulo do número complexo 7 + 4i é
|7 + 4i| = =

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